Função exponencial: questões diversas

Revisão para os alunos do 1º ano A e B / 2009 da escola Carneiro de mendonça:
para baixar e revisão  - Clique Aqui
 Bons estudos

ENEM 2009 - COMENTADO

ATENÇÃO:

EIS A PROVA DE MATEMÁTICA DO ENEM 2009, COMENTADA PELOS PROFESSORES DE UMA DAS MELHORES ESCOLAS DO ESTADO DO CEARÁ.

BAIXE A PROVA E INDIQUE AOS SEUS AMIGOS VESTIBULANDOS.

BONS ESTUDOS.

PARA BAIXAR A PROVA COMENTADA - Clique Aqui

Olá, senhores!

estou postando aqui as provas do enem 2009.

Logo estarei disponibilizando a prova de matemática COMENTADA,

Aguardem as próximas postagens.

para acessar as provas e os gabaritos - clique aqui

Problemas - conjuntos numéricos

1. A soma de dois números inteiros e positivos é igual a 17. A diferença entre o maior e o menor é igual a 5. então, se subtraírmos do dobro do maior o triplo do menor, obteremos:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

2. Um número K de dois algarismos, escrito no sistema de numeração decimal, é tal que se invertermos a ordem de seus algarismos, o aumentamos em 9 unidades. Se a soma dos algarismos de K é igual a 9, então K/3 é igual a:

a) 13

b) 15

c) 17

d) 19

e) 21

Solução do Problema 1:

seja x o maior número e y o menor número.

logo x + y = 17 (I) e x - y = 5 (II), resolvendo o sistema, obtemos x = 11 e y = 6,

Portanto, 2x - 3y = 22 - 18 = 4 (opção D)

Solução do problema 2:

k = ab

k = 10a + b

invertendo a ordem dos algarismos de K, obtemos outro número da forma decomposta 10b + a

então, pelo enunciado temos,

10a + b = 10b + a + 9

10 a - a = 10 - b + 9

9a = 9b + 9, dividindo- se os dois lados da igualdade por 9,

a = b + 1, então os possíveis resultados são

(a,b) = (1,2)

(a,b) = (2,3)

(a,b) = (3,4)

(a,b) = (4,5)

(a,b) = (5,6)

(a,b) = (7,8)

(a,b) = (8,9)

Verificando, notaremos que a unica das igualdades que verifica o enunciado do problema é

(a,b) = (4,5), logo, a = 4 e b = 5

Portanto K =45

e K/3 = 45/3 = 15

opção B

QUESTÕES DE VESTIBULAR - FATORIAL

1.(UNIFOR) - A soma de todos os números primos que são divisores de 30! é :

a) 140

b) 139

c) 132

d) 130

e) 129

Solução:

Seja S = 30!, então

S = 30.29.28...3.2.1

Sabemos que como S é obtido pelo produto dos números naturais de 1 a 30,

logo todos os números primos que aparecem nesse intervalo são divisores de S = 30!.

portanto a soma  é igual a

2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 129

opção "e"

2.   se (n + 1)! = 10 n!, então ( n - 1 )² vale :

a) 100

b) 81

c) 64

d) 36

e) 25

solução :

(n+1)! = 10 n!

(n+1) . n! = 10 n! , dividimos tudo por n! , então

n + 1 = 10

n = 10 - 1

n = 9

portanto, (n - 1)² = (9 - 1)²

               (n - 1)² = 8²

               (n - 1)² = 64

opção "c"

Trigonometria : Lei dos senos

Apresentação em slides com a lei dos senos e algumas questões de vestibular resolvidas para baixar grátis:
Para baixar este arquivo : clique aqui

PROVAS COMENTADAS DO ENEM 2009 - A PROVA VAZADA

SENHORES,
POR NÃO TER TEMPO PARA POSTAR TODA A PROVA DO ENEM 2009 COMENTADA, ESTOU DISPONIBILIZANDO AQUI O COMENTÁRIO DAS PROVAS DO ENEM 2009. PARA BAIXAR AS PROVAS CLIQUE NOS LINKS ABAIXO.

Para baixar os comentários da prova do 1º dia - clique aqui

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GEOMETRIA ANALÍTICA

(UECE 2000.1) A equação x² - y ² - 2x + 4y - 3 = 0 representa um(a):
a) Circunferência
b) Parábola
c) Elipse
d) Par de retas concorrentes.

Soluçao:

Primeiro vamos reordenar a equação,

x² - 2x - y² + 4y = 3

Agora vamos Completar os quadrados perfeitos,

x² - 2x + 1 - (y² - 4y  +4) = 3+1-4

Logo temos,

(x-1)² - (y-2)² = 0

(x-1)² = (y-2)²

Portanto, x-1 = y-2 (I) ou  x-1 = -y+2 (II)

Desenvlovendo (I),

x-1 = y - 2

x- 1 + 2 = y

y = x + 1

Desenvolvendo (II),

x- 1 = -y + 2

y = -x + 2 + 1

y = -x + 3

temos então duas retas, resolvendo o sistema  (I) e (II), temos

y = -x + 3

y = -y+ 1 +3

2y = 4

y = 2

logo, x = 1

Portanto a intersecção das duas retas é um único ponto, logo a resposta correta é o item D.

QUESTÃO DE PORCENTAGEM - NÍVEL FÁCIL

Quanto é (10%) ² ?

a) 100%
b) 50%
c) 20%
d) 1%

solução:
Sabemos que 10% é igual a 10/100
portanto (10%)² = (10/100)²
que é igual a 100/10000
e simplificando a fração obtemos o valor 1/100 = 1%
opção D

Questão de Equação do 2º grau

Se p e q são raízes não-nulas de x² + 5px – 8q = 0, quanto vale  p + q.
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50

solução:

Sabemos que a soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau é:

p + q = -b/a

p.q = c/a

logo,

p + q = -5p

p.q = -8q , e como q é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados dessa igualdade por q, e então teremos,

p = -8

logo

p + q = -5p

p  + q = -5(-8)

p + q = 40

item D

MAIS UM PROBLEMA DE CONTAGEM

Ao adicionarmos todos os números inteiros positivos formados a partir das  permutações simples dos algarismos 1,2,3,4 e 5, obteremos um número M. Determine o algarismo das dezenas de M.

Solução:

Primeiro vamos calcular a quantidade de números. As permutações simples dos algarismos 1,2,3,4 e 5 são ao todo 5! = 120.

Logo não é interessante, fazer a listagem dos números e sair somando.

Observe então que dos 120 números, 24 tem seu ultimo algarismo sendo 5, 24 tem seu ultimo algarismo sendo 4 e assim sucessivamente. Assim o algarismo das unidades da soma será retira de   S = 24x(1+2+3+4+5) = 360, logo o algarismo das unidades é 0 e o algarismo das dezenas será obtido a partir da soma P = 36 + 24x(1+2+3+4+5) = 396.

Logo o algarismo das dezenas de M é 6.

OBMEP - 2009

ATENÇÃO :

Estou disponibilizando as provas da OBMEP 2009 com as suas soluções:

Para Baixar as Provas - Clique Aqui

PROBLEMA DO DIA - RACIOCÍNIO LÓGICO

Um professor propôs dividir sua turma em 7 grupos de alunos; os elementos de um dos grupos ficariam no centro de uma circunferência, e os demais grupos, posicionados em 6 locais bem determinados sobre a circunferência, teriam a incumbência de questionar os elementos do grupo do centro a respeito de um assunto pré agendado. A figura abaixo ilustra a posição dos 7 grupos.

Nesse caso, a quantidade de formas possíveis e distintas de se organizar os grupos dos questionadores e questionados será igual a:

a) 5040

b) 840

c) 720

d) 120

fonte: Prova do concurso para professor do estado do ceará 2009 - CESPE/UNB

Solução: note que para dispormos os grupos no centro temos 7 opções.

Observe ainda que para dispor os 6 grupos no círculo teremos 6! opções.

Porém como estamos falando de uma permutação circular então devemos dividir o resultado por 6 (Devido às rotações).

Portanto o total de resultados será igual a

R = 7x6!/6

R = 5040/6

R = 840 modos

PROBLEMA DO DIA - RACIOCÍNIO LÓGICO

Um teste para os aluno de uma determinada sala de uma escola é composto por 8 itens, que deverão ser julgados, individualmente como CERTOS ou ERRADOS. Nesse caso, excluindo-se as possibilidades de todos os itens estarem CERTOS ou de todos os itens estarem  ERRADOS, a quantidade de possíveis gabaritos para esse teste é igual a:

a) 254
b) 128
c) 64
d) 26
e) 256
fonte: Prova do concurso para professor do estado do ceará 2009 - CESPE/UNB


Solução:

Note que para cada questão temos duas possibilidades. Como ao todo são 8 questões, então o total de resultados é igual a 2 elevado a 8 que é igual a 256, desses devemos retirar dois casos o primeiro em que todos os itens estão certos e o segundo em que todos os itens estão errados.

Portanto a resposta para o nosso problema é igual a 256 - 2 = 254

opção A

PROBLEMA DO DIA - LÓGICA

Cada um dos 5 alunos de um grupo terá 10 minutos para expor acerca do clima de um continente. O primeiro falará sobre o clima no continente americano, o segundo, no africano, o terceiro, no asiático, o quarto falará sobre clima no continente europeu, e o ultimo, na oceania. Nesse caso, a quantidade de maneiras distintas que o grupo poderá se organizar para fazer a exposição será igual a :

a) 5
b) 24
c) 120
d) 3.125
e) 1200
fonte: Prova do concurso para professor do estado do ceará 2009 - CESPE/UNB

solução:

note, primeiramente, que não precisaremos usar o tempo 10 minutos na resolução desta questão.

Para organizar a apresentação temos:

5 alunos para a primeira apresentação

4 alunos para a segunda apresentação

3 alunos para a terceira apresentação

2 alunos para a quarta apresentação

1 aluno para a quinta apresentação

Logo, o total de casos possíveis é igual 5!=5x4x3x2x1 =120

opção C

VESTIBULAR IFCE - MARACANAÚ

Atenção Vestibulandos de Maracanaú

Já estão abertas as inscrições para Vestibular do IFCE - Maracanau.
Para baixar o Edital  - clique aqui
Para baixar o Programa das provas -clique aqui

QUESTÕES DE VESTIBULAR COMENTADAS

Olá pessoal!

Achei esse material com 140 questões de vestibular, todas  resolvidas. Excelente para professores e estudantes que simpatizam com a matemática.

Bons estudos

Cledinardo

Para baixar este material  - CLIQUE AQUI

AVISO

PESSOAL, ESTA SEMANA NÃO POSTEI NADA AINDA, POIS ESTOU SEM TEMPO PARA ATUALIZAR O BLOG. PRÓXIMA SEGUNDA (26/10/09) ESTAREI TRAZENDO COISAS NOVAS PARA O BLOG.

CLEDINARDO

REVISÃO PARA OS ALUNOS DO CARNEIRO DE MENDONÇA

ATENÇÃO ALUNOS DO 1º A e B

ESTOU POSTANDO AQUI A REVISÃO PARA A PROVA DO 3º BIMESTRE DE 2009.

PARA BAIXAR A REVISÃO PARA A PROVA DO 3º BIMESTRE - Clique Aqui

PROF: CLEDINARDO

QUESTÃO DE MMC

Qual é o menor número que quando é dividido por 3, 13 e 25 deixa resto 2?

a) 575

b) 573

c) 975
d) 977

solução :

Observe primeiro que o menor número divisível por 3, 13 e 25 é o Mínimo Múltiplo Comum desses três números. daí temos que o número procurado é mmc (3,13,25) + 2 .

como mmc ( 3,13,25) = 3 x 13 x 25 ( isso porque 3 ,13 e 25 são primos entre si)

logo, o número procurado é 975 + 2= 977. (opção D)

PROBLEMA DO DIA : PORCENTAGEM

Numa classe, 40% dos alunos não enxergam bem. Desses, 70% usam óculos e os 30% restantes usam lentes de contato. Sabendo que 21 alunos usam óculos, quantos alunos têm essa classe?

solução:
seja x o número de alunos da classe, então
0,4x = nº de alunos que não enxergam bem (para descobrir 40% de um número basta multiplicá-lo por 0,4)
70% de 0,4x usam óculos, logo o nº de alunos que usam óculos é 0,7*0,4x = 0,28 x
como 21  alunos usam óculos , então
0,28x = 21 , portanto
x = 21/0,28
x = 75 alunos

DESAFIO Nº 04

GATOS NO CONDOMINIO

Em um condomínio moram 29 familias, cada familia possui 1 gato, 3 gatos ou 5 gatos. O numero de famílias que possuem apenas 1 gato é igual ao número de famílias que possuem 5 gatos. Quantos gatos há nesse condomínio?

solução:
sejam,
x = o nº de familias que possuem 1 gato
y = o nº de familias que possuem 3 gatos
z = o nº de familias que possuem 5 gatos.

então, x + y + z = 29
como x = z, temos
2x + y = 29
por outro lado o nº total de gatos no condomínio é igual a
x + 3y + 5z = 6x +3y ( pois x = z)
colocando em evidência
6x + 3y = 3(2x +y) = 3 x 29
logo o nº de gatos no condomínio é igual  a 87

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

Olá, pessoal estou deixando um material excelente de história da Matemática da antiguidade. Este material é composto de 121 slides em Powerpoint, ótimo material para quem está estudando História da Matemática.

bons estudos.

para baixar este arquivo - clique aqui

CONCURSO PARA PROFESSORES

ATENÇÃO PROFESSORES:

Já saiu o edital para professores do estado do Maranhão. São mais de 5200 vagas e os salários são de R$ 1.481,20, para uma jornada de 20h semanais. (mais do que é pago no estado do CE para uma jornada de 40h, que paga  pouco mais de R$ 1.300,00).

Para ter acesso ao edital - clique aqui

JOGO DE RACIOCÍNIO PARA BAIXAR - GRÁTIS

ATENÇÃO, SE VOCÊ GOSTA DE JOGOS DE RACIOCÍNIO LÓGICO NÃO DEIXE DE BAIXAR ESTE JOGO SUPER LEGAL E JOGAR À VONTADE.
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AVISO

AULA - ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

COMENTÁRIOS DA PROVA DE MATEMÁTICA DO ENEM 2009 - PARTE 01

Questão 46

Letra A

Como a maior variação de preços foi no setor de alimentação e bebidas,esse foi o setor que mais influenciou na inflação.

Questão 47

Letra B

Como descrito no texto, o ano 1 a.C. corresponde ao número 0 no cômputo dos astrônomos, os anos 2 a.C. e 3 a.C. correspondem, respectivamente, aos números -1 e -2. Já os anos 1 d.C. e 2 d.C. correspondem aos números 1 e 2, respectivamente.

Questão 48

Letra E

Primeiramente,vejamos as opções para João:

Pacote 1: 7x40 = 280 reais

Pacote 2: 80 + 10x7=150 reais

Pacote 3: 60 + 15(7-4)=105 reais

Portanto,a melhor opção para João é o pacote 3. Agora,vejamos as opções de Maria:

Pacote 1: 4x40=160 reais

Pacote 2: 80 + 10x4=120 reais

Pacote 3: 60 + 15 (4 − 4) = 60 reais

Logo,a opção mais vantajosa para Maria é o pacote 3.

Questão 49

Letra B

Observando a composição representada pelas cerâmicas I e II,temos que a transformação que foi utilizada foi a simetria em relação a uma reta horizontal posta embaixo do quadrado de cerâmica.

Questão 50

Letra C

Como são ao todo 5 valores e sabemos que três deles são iguais a 2,temos que a moda é 2,0 , pois é o valor que mais aparece. Como a média dos valores é igual a 2, as pontuações de D e E são ambas iguais a 2 ou uma é maior que 2 e a outra é menor que 2. Nos dois casos, colocando as pontuações em ordem crescente, a terceira pontuação (valor central) será

2, ou seja, a mediana é igual a 2.

Questão 51

Letra D

Como, ao ingerir o medicamento, a concentração da substância A no organismo irá aumentar ,a partir de um determinado momento,a função deve ter um comportamento crescente.Porém,é dito que após a substância alcançar o objetivo no organismo,sua quantidade volta ao normal.Daí,temos que,após alcançar um ponto máximo, a função passa a ter um comportamento decrescente,voltando para a quantidade inicial da substância.Logo,o gráfico que melhor representa esse comportamento é o da opção D.

Questão 52

Letra C

Analisando os caminhos possíveis, temos que o numero mínimo de movimentos é igual a 4, como no caminho exemplificado abaixo.

Questão 53

 Letra A

No sistema de juros simples, a uma taxa de 3% ao mês, o montante aumentará 3% x 5000 = R$ 150,00 por mês. Portanto, temos que M(x) = 5000 + 150x, que é uma função polinomial do 1º grau (representada por uma reta)crescente passando pelo ponto (0, 5000).

Questão 54

Letra A

Como cada 5 ciclos de Vênus correspondem a 8 anos da terra,temos que:

5 ciclos de Vênus----- 8 anos da Terra

X ciclos de Vênus----- 48 anos da terra

X= 30 ciclos de Vênus

 

Questão 55

Letra E

Observando o gráfico,temos que o total de alunos do curso é 50 e que 18+16+2 = 36 alunos tiveram média maior ou igual a 6,0 , ou seja, 36 alunos foram aprovados.Portanto, a porcentagem de alunos aprovados foi 36/50= 72% .

Questão 56

Letra D

Como o aluguel da caixa com uma colméia custa 150 dólares e as lavouras da Califórnia necessitam de 1,4 milhão de colméias, temos que:

1 colmeia ----- 150 dólares

1,4 milhão de colméias ----- x

X = 210 milhões de dólares

 

Questão 57

Letra D

O volume de (1) é o volume de um paralelepípedo Área da base x altura;

O volume de (2) é o volume de um cilindro Área da base x altura;

Como os volumes são iguais:

Questão 58

Letra E

A cada 34 atropelamentos, em 34 – 10 = 24 não ocorreram mortes. Logo a probabilidade de não haver uma morte escolhendo-se um atropelamento será de 24/34 = 12/17.

Questão 59

Letra B

Como o enunciado diz que podemos considerar a aproximação de forma aleatória, e que a probabilidade de encontrar certa lâmpada acesa será proporcional ao tempo que fica acesa, temos:

Probabilidade de encontrar o sinal verde:

Total = 100 segundos (1 min + 40 s)

Tempo que fica aceso = 25 s

Logo a probabilidade de termos um sinal verde será: 25/100 =1/4.

Usando o princípio multiplicativo, temos que a probabilidade de o motorista encontrar o sinal verde nas duas vezes é: P = ¼ x ¼ =1/16

Questão 60

Letra C

Ela começa a conta após a quarta etapa, logo basta virar a ampulheta que tem uma parte com 3 min, sem mexer na de oito.Quando se passaram os três minutos basta virar a de oito e aguardar a areia descer.Assim, terá contado 11 min (3 min + 8 min).

Questão 61

Letra E

Analisando as opções:

(A) No cenário previsível em 2009 a perspectiva é de exatamente 516 mil empregos, ou seja, um número menor que 602.900. Afirmativa falsa.

(B) Observe que será inferior a 616.000 no gráfico. Afirmativa falsa

(C) No cenário previsível, em 2009, temos 516.000 empregos, e este valor não pertence ao intervalo dado.Afirmativa falsa.

(D) No cenário pessimista, em 2009, prevê-se segundo o gráfico algo entre 416 e 516 mil empregos. Afirmativa falsa.

(E) No cenário pessimista, em 2009, a previsão está na faixa entre 516 e 616 mil. Afirmativa correta.

Questão 62

Letra B

Cada 200 pneus correspondem a 1 tonelada, logo o total de pneus jogados fora em toneladas será:

PNEUS          TONELADAS

200 ---------------1

20.000.000 ------- y

Resolvendo a regra de três, encontramos:

Y = 100.000 toneladas

Usando-se novamente da regra de três:

TONELADAS     QUILOS DE ÓLEO

1 ----------------------------- 530

100.000 ------------------------ x

X= 53.000.000 kg

Como 1 ton = 1000 Kg, basta dividirmos o valor encontrado por 1000.

X = 53.000 toneladas.

Questão 63

Letra B

O lucro é a diferença entre o preço de venda (receita) e o custo do produto. Logo:

L(x) = R(x) – C (x)

L(x) = 0,7x – (0,1x + 1)

L(x) = 0,7x – 0,1x – 1

L(x) = 0,6x-1 → Função do 1º grau(reta)

Observe ainda que o termo independente é -1, ou seja o gráfico corta o eixo Y no ponto -1, e das opções o único gráfico que corta o eixo Y abaixo de 0 é o gráfico da opção B

 

Questão 64

Letra B

Sendo “x” o número de Km rodados,o preço em cada empresa será dado por:

W = 3,00 + 2,40x

K = 3,80 + 2,25x

L = 2,80 + 2,50x

O valor do táxi para o executivo (x = 5) em cada empresa será:

W = 3,0+2,4 . (5) → W = 15,00

K = 3,8 + 2,25 . (5) → K = 15,05

L = 2,8 + 2,5 . (5)→ L = 15,30

Logo, para o executivo, a mais econômica será a empresa W.

O valor do taxi para a mulher (x = 15) em cada empresa será:

W = 3,0 +2,4 . (15) → W = 39,00

K = 3,8 + 2,25 . (15) → K = 37,55

L = 2,8 + 2,5 . (15) → L = 40,30

Logo a mais econômica para mulher será a empresa K.

 

Questão 65

Letra D

A cada cinco dias ela deposita R$0,91. Se havia R$95,05, para descobrir a quantidade de grupos de cinco dias que ela passou depositando,fazemos:

95,05/0,91=104 com resto de 0,41.

Para colocar os R$0,41 restantes, colocou 1 centavo, depois 5 centavos,em seguida uma de 10 e por último uma de 25 centavos.

O total de dias do processo foi 104. 5 + 4 = 524 dias

524 dias = 74 semanas e mais 6 dias, terminando, assim, no sábado.

 

Questão 66

Letra B

Se são referentes a coleta 523 milhões por ano, 523/12 = R$43,58 milhões por mês. Sendo assim, o salário( S) de cada catador será:

 

DESAFIO Nº 03

O prefeito de uma cidade dispensou 20% dos funcionários publicos municipais e concedeu aos que permaneceram, um reajuste salarial que elevou a folha de pagamentos em 10%. Assim o salário médio dos funcionários sofreu uma variação de :
a) 10,0%
b) 30,0%
c) 35,5 %
d) 37,5%
e) 40,5%

a solução será postada amanhã: dia 06/10/2009

Problema do dia - Múltiplos e Divisores

Quando lhe perguntaram se tinha muitos livros sobre problemas curiosos, o professor respondeu: Se tenho muitos? Calcule você: Se os contarmos de 2 em 2 sobrará 1 livro, de 3 em 3 sobrarão 2 livros, de 4 em 4 sobrarão 3 livros. Mas se contarmos de 5 em 5 não sobrarão livros. Aliás, são menos de 50.
a) O número de livros é um quadrado perfeito.
b) O número de livros é divisível por 7.
c) São mais de 40 livros
d) O número de livros só é divisível por ele mesmo, por 5 e por 1
e) O professor se enganou quando disse que o número de livros era menor que 50, pois o número procurado é 95.

solução:
Se ao contarmos os livros de 5 em 5 não sobram livros é porque o número é divisível por 5
como o professor falou que o número é menor que 50, então as nossas possibilidades são {0,5,10,15,20,25,30,35,40,45}
contando os livros de 2 em 2 sobrará 1, então o número de livros é um número ímpar
assim as nossas possibilidades são (5,15,25,35,45}
contando de 3 em 3 deixa resto 2, então o número não é multiplo de 3, o que reduz as nossas possibilidades para { 5,25,35}
contando de 4 em 4 deixa resto 3, logo o único destes três números que satisfaz essa condição é 35
pois 35 = 2x17 + 1 = 3x 11 + 2 = 4 x 8 + 3 = 5 x 7 + 0
como 35= 5x7 então ele é multiplo de 7.
resposta correta (item B)

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QUESTÕES COMENTADAS DO ENEM 2009

Solução do desafio nº 02/2009

Observe que os quadriláteros ABEF e CDEF são trapézios, ambos com base maior medindo 5cm e base menor medindo 3cm.
Como não sabemos as alturas dos dois trapézios, então vamos chamar a altura do primeiro trapézio de X e a altura do segundo trapézio de Y.
Logo, não sabemos quanto medem X e Y más sabemos que a soma X + Y = 4
Calculando a área do 1º trapézio ABEF temos,
A1 = (B+b)h/2
A1 = (5+3)x/2
A1 = 8x/2
A1 = 4x
Analogamente, a área do 2º trapézio CDEF temos,
A2 = (B+b)h/2
A2 = (5+3)y/2
A2 = 8y/2
A2 = 4y
Temos ainda que a área do paralelogramo ABCD é igual a A3 = 5 x 4= 20 cm²
Calculando a soma das áreas dos dois trapézios temos que,
A1 + A2 = 4x + 4y
A1 + A2 =4(x + y)
A1 + A2 =4 . 4
A1 + A2 = 16 cm²
Portanto, se subtraírmos de A3 a soma das áreas A1 + A2 , irá nos restar a medida das áreas dos triângulos procurados
Logo a resposta é 20cm² - 16 cm² = 4cm²
Até a próxima.

PROVAS DO ENEM CANCELADAS - PARA BAIXAR GRATIS

ATENÇÃO ESTUDANTES, COMO TODOS JÁ SABEM HOUVE UM VAZAMENTO DAS PROVAS DO ENEM. ASSIM A PROVA QUE ACONTECERIA SÁBADO E DOMINGO DIAS 03 E 04/10/2009 FORAM ADIADAS.

O MEC DIVULGOU AS PROVAS QUE VAZARAM PARA QUE ASSIM OS ESTUDANTES SE PREPAREM PARA AS PROVAS QUE ACONTECERÃO EM 45 DIAS.

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DESAFIO Nº 02

Calcule a área dos triângulos ACE e BDF, sabendo que EF mede3cm e é paralelo a AB e a CD, sabendo ainda que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo com AB = 5cm e altura igual a 4 cm.

Amanhã dia 02 de outubro irei postar a solução.

Problema do dia - Porcentagem

Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% dos alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho?

a) 1

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8

solução:

Do numero total de alunos dessa classe, 60% foram prestar trabalho comunitário, isto é 0,6x40 = 24. O número de alunas que participaram deste trabalho é mínimo quando o número de alunos é máximo, ou seja, quando 22 alunos se envolvem no trabalho, só restam 2 vagas para as alunas.

Opção correta : B

Qual a diferença entre Arranjo Simples e Combinação Simples?

olá estudantes.

Com certeza algum dia você fez essa pergunta. Realmente a maior dificuldade dos alunos que estão estudando a análise combinatória é muitas vezes distinguir entre usar a fórmula de arranjo ou de combinação.

Primeiro vejam estas duas situações:

1. Quatro carros A,B,C e D disputam uma corrida na qual serão premiados os três primeiros colocados, de acordo com a sua posição. De quantos modos poderá acontecer essa premiação?

2. Em uma sala há quatro pessoas A,B,C e D , devemos escolher 3 entre essas quatro pessoas para participarem de uma comissão. De quantos modos poderemos escolher essas 3 pessoas?

Note que no problema 1 devemos levar em consideração a ordem de chegada dos carros, assim o grupo (A,B,C)  não é igual ao grupo (A,C,B). neste caso devemos utilizar a fórmula do Arranjo Simples

A4 , 3 = 4! / (4-3)!

A4,3 = 24 modos

Note também que, no problema 2 a ordem dos elementos do grupo escolhido não importa, más sim os elementos do grupo. Trata-se, portanto, de um problema de Combinação Simples.

C4,3 = 4! / 3!(4-3) !

C4,3 = 24/ 6 x 1

C4,3 = 4 modos

Bom proveito.

Desafio nº 01/2009

Seja S um número natural, tal que
S = 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 2009!
seja x o algarismo das unidades de S então qual é o valor de x?
solução:
Observe que:

1! = 1 = 1

2! = 1x2 = 2

3! = 1x2x3 = 6

4! = 1x2x3x4 = 24

5! = 1x2x3x4x5 = 120

note que a partir de 5! todos os números irão terminar em 0, pois em todos eles aparece o produto 2x5 = 10, portanto todos são multiplos de dez.


Então como queremos saber qual o algarismo das unidades, basta que nos preocupemos com 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33


logo o algarismo das unidades de S é 3.

PROBLEMA DE ANÁLISE COMBINATÓRIA

1 - PEDRO TEM 5 CAMISAS (BRANCA, AMARELA, VERMELHA AZUL E VERDE) E 3 CALÇAS (PRETA, CINZA E MARRON). DE QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES ELE PODERÁ SE VESTIR, USANDO UMA CALÇA E UMA CAMISA?

SOLUÇÃO:

Este é um problema fácil de ser resolvido, basta usar o princípio multiplicativo.

note que para casa camisa que pedro escolher, ele poderá se vestir com 3 calças distintas, logo como temos 5 camisas e 3 calças, o total de possibilidades será

n = 5 x 3 = 15 modos