Problema de PA e PG

1. A soma de tres números que formam uma PG crescente é 19. Calcular esses tres números sabendo que se subtraírmos 1 do primeiro sem alterar os outros dois eles passam a constituir uma PA.

Solução : 

PG (a, b,c) e PA (a-1,b,c)

Pelo problema , a+b+c = 19  (I)

Se formam uma PG então b/a = c/b

==> b² = ac (II)

Se formam uma PA então b - (a-1) = c - b

==> b-a + 1 = c -b

==> 2b + 1 = a +c (III)

Resolvendo o sistema formado pelas equações (I), (II)  e (III) encontramos 

b = 6

a = 9 ==> c = 4

ou

a = 4 ==> c = 9

assim teremos duas soluções (a,b,c) = (4,6,9) e (9,6,4), como a PG é crescente então a solução procurada é a = 4, b = 6 e c = 9.